تعریف « مجموعه »، انواع، اشتراک، اجتماع و تفاضل آنها

به دسته ای از اشیاء مشخص، متمایز و غیرتکراری، « مجموعه » گفته می شود. مجموعه ها می توانند « متناهی » باشند یا « نامتناهی ». « مجموعه متناهی » به مجموعه ای، گفته می شود که بتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی، نشان داد؛ مانند « مجموعه تهی » که نماد آن Ø یا {} بوده و تعداد اعضای آن صفر است یا مجموعه مقسوم علیه های عدد 12 که تعداد اعضای آن برابر است با 6. « مجموعه نامتناهی » نیز، به مجموعه ای، می گویند که متناهی نبوده و نتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی، نمایش داد؛ مثل مجموعه مضربهای طبیعی عدد 4 یا مجموعه اعداد گویای بین 0 و 1؛ چرا که بین دو عدد، بی نهایت عدد گویا وجود دارد. به مثال  زیر، توجه کنید:

مجموعه فوق یک مجموعه متناهی است؛ بدین ترتیب که ابتداء، نامعادله مربوطه را حل و حدود x را مشخص می کنیم.

در نتیجه:

به عبارتی دیگر:

بنابراین، مجموعه A یک مجموعه متناهی می باشد.

زمانی می توانیم بگوئیم دو مجموعه A و B مساوی هستند که هر عضو A  عضو B و هر عضو B عضو A باشد که آن را به شکل زیر، نشان می دهیم:

برای نشان دادن اشتراک دو مجموعه A و B، به صورت زیر، عمل می کنیم و آن عبارت است از همه عضوهائی که هم در A و هم در B، وجود دارند:

اجتماع دو مجموعه A و B نیز، شامل اعضائی، است که حداقل، در یکی از دو مجموعه A و B، وجود دارند و به شکل زیر، نمایش داده می شود:

مجموعه تفاضل دو مجموعه؛ برای نمونه A - B نیز، شامل اعضائی، است که در A، وجود دارند؛ اما در B، وجود ندارند.

یک مجموعه زمانی « زیرمجموعه » مجموعه دیگر محسوب می شود که هر عضو آن عضو مجموعه مربوطه، باشد و نماد آن ⊇ است. برای تعیین تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه، دو را به توان تعداد اعضای آن مجموعه، می رسانیم. برای نمونه، تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه 3 عضوی 8 می باشد.