اعداد و انواع آن

اعداد انواع مختلفی دارند که به برخی از آنها، اشاره می کنیم:

1- « اعداد طبیعی »: اعدادی هستند که جهت شمارش، استفاده شده و علامت آن N بوده و شامل صفر، نمی گردد. مجموعه « اعداد طبیعی » را به صورت زیر، نمایش می دهیم:

2- « اعداد حسابی »: با افزودن عدد صفر به « اعداد طبیعی »، به دست می آید و با علامت W، آن را نشان می دهیم. مجموعه « اعداد حسابی » به شکل زیر، نمایش داده می شود:

3- « اعداد گویا »: به دو صورت « اعشاری » و « کسرهای متعارفی »، نمایش داده می شوند. « اعداد اعشاری » خود به دو دسته « مختوم » یا « تحقیقی » و « متناوب » یا « پایان ناپذیر »، تقسیم می شوند. « اعداد اعشاری مختوم » کسرهای متعارفی ای هستند که در مخرج آنها، عامل 2 یا 5 یا هر دو وجود داشته و با تقسیم صورت بر مخرج، باقیمانده 0 خواهیم داشت و عمل تقسیم متوقف خواهد گشت؛ مثل نه بیستم یا همان 45/0. در « اعداد اعشاری پایان ناپذیر یا متناوب »، مخرج حداقل، یک شمارنده اول؛ به غیر از 2 و 5، بوده و هرگز، با تقسیم صورت بر مخرج، باقیمانده 0 نخواهیم داشت و در خارج قسمت نیز، بعد از ممیز، یک یا چند رقم تکرار می شوند؛ مانند چهار سی و سوم یا همان 1212/0. مجموعه « اعداد گویا » را با نماد Q، نشان می دهیم.

4- « اعداد گنگ »: اعدادی هستند که به صورت نسبت دو عدد صحیح، قابل نمایش نبوده و اعداد پس از ممیز، بی نهایت هستند؛ ولی مانند « اعداد اعشاری متناوب »، اعداد تکراری نیستند؛ مانند: ...414213/0. اعداد گنگ به چند دسته زیر، تقسیم می شوند: 1- عدد پی. 2- جزرهای تقریبی. 3- اعداد اعشاری ای که قسمت اعشارشان بی نهایت و بی تکرار باشد. نماد « اعداد گنگ » 'Q می باشد.

5- « اعداد حقیقی »: اجتماع « اعداد گویا » و « اعداد گنگ » را می گویند که با R، نمایش داده می شود.

6- « اعداد صحیح »: شامل صفر، اعداد طبیعی و اعداد منفی، هستند و نماد آن Z است.

رابطه زیر میان مجموعه اعداد فوق، برقرار است:

مجموعه R ⊇ مجموعه Q ⊇ مجموعه Z ⊇ مجموعه W  ⊇ مجموعه N

و مجموعه R ⊇ مجموعه 'Q

با استفاده از « نمودار ون »، می توان رابطه فوق را به این صورت، نشان داد:

تعریف « مجموعه »، انواع، اشتراک، اجتماع و تفاضل آنها

به دسته ای از اشیاء مشخص، متمایز و غیرتکراری، « مجموعه » گفته می شود. مجموعه ها می توانند « متناهی » باشند یا « نامتناهی ». « مجموعه متناهی » به مجموعه ای، گفته می شود که بتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی، نشان داد؛ مانند « مجموعه تهی » که نماد آن Ø یا {} بوده و تعداد اعضای آن صفر است یا مجموعه مقسوم علیه های عدد 12 که تعداد اعضای آن برابر است با 6. « مجموعه نامتناهی » نیز، به مجموعه ای، می گویند که متناهی نبوده و نتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی، نمایش داد؛ مثل مجموعه مضربهای طبیعی عدد 4 یا مجموعه اعداد گویای بین 0 و 1؛ چرا که بین دو عدد، بی نهایت عدد گویا وجود دارد. به مثال  زیر، توجه کنید:

مجموعه فوق یک مجموعه متناهی است؛ بدین ترتیب که ابتداء، نامعادله مربوطه را حل و حدود x را مشخص می کنیم.

در نتیجه:

به عبارتی دیگر:

بنابراین، مجموعه A یک مجموعه متناهی می باشد.

زمانی می توانیم بگوئیم دو مجموعه A و B مساوی هستند که هر عضو A  عضو B و هر عضو B عضو A باشد که آن را به شکل زیر، نشان می دهیم:

برای نشان دادن اشتراک دو مجموعه A و B، به صورت زیر، عمل می کنیم و آن عبارت است از همه عضوهائی که هم در A و هم در B، وجود دارند:

اجتماع دو مجموعه A و B نیز، شامل اعضائی، است که حداقل، در یکی از دو مجموعه A و B، وجود دارند و به شکل زیر، نمایش داده می شود:

مجموعه تفاضل دو مجموعه؛ برای نمونه A - B نیز، شامل اعضائی، است که در A، وجود دارند؛ اما در B، وجود ندارند.

یک مجموعه زمانی « زیرمجموعه » مجموعه دیگر محسوب می شود که هر عضو آن عضو مجموعه مربوطه، باشد و نماد آن ⊇ است. برای تعیین تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه، دو را به توان تعداد اعضای آن مجموعه، می رسانیم. برای نمونه، تعداد زیرمجموعه های یک مجموعه 3 عضوی 8 می باشد.